Víctor Gómez Pin
La fórmula de transformación de coordenadas de Galileo describe una situación en la que la magnitud espacial que se mide tiene su extremo en el origen de coordenadas del propio móvil que se desplaza. Si Dp es la distancia en la coordenada x de una estación P a la estación de salida E, entonces la distancia de P al tren será D’p la cual puede ser expresada en términos de la primera (la distancia en el firme) mediante la transformación de Galileo D’p = Dp -v.t. Dónde v designa la velocidad del tren y t el tiempo. Obviamente D’p se va achicando, en razón de que un extremo se va acercando al otro. Pero ¿qué pasa si se trata de medir la distancia entre dos puntos de la vía a los que el tren aun no ha llegado?
Sean una segunda estación Q más alejada que P , siempre en la coordenada x. Consideramos en primer lugar que nos interesamos por la distancia entre P y Q desde nuestro reposo en la estación E. Cabe proceder de la manera siguiente: primero medimos la distancia Dp entre P y E , después medimos la distancia Dq entre Q y E y a continuación restamos: d= Dq- Dp= (Q-E)- (P-E). Por ejemplo 1000- 500=500 kilómetros. Al decir primero y después, no hemos precisado a qué momentos exactos nos estamos refiriendo, pues ello es indiferente. El primer y segundo tiempo son arbitrarios porque la acción de medir se efectúa en un tiempo u otro, pero el tiempo no interviene en lo medido, no forma parte de lo medido. Cabe decir, por ejemplo que a la una hemos procedido a medir Dp y a las dos Dq.
Supongamos ahora que por nuestra estación E pasa un tren a las cero horas a la velocidad de cien kilómetros por hora, y que un viajero procede a medir siguiendo la misma pauta. Ha de quedar claro que desde el tren se intenta medir lo mismo que se ha medido desde la estación, a saber la distancia espacial entre las estaciones P y Q. Además se ha construido el ejemplo para que, en los momentos de medición el tren aun no haya alcanzado el extremo P de la misma, de tal manera que en principio la distancia total se presente digamos intacta para ambos observadores, aunque obviamente con la diferencia de que, para el observador en E, ese espacio entre P y Q está inmóvil mientras pero que (por el principio de relatividad de Galileo) para el viajero se está desplazando hacia la izquierda a una velocidad v.
Expresamos lo que realiza el viajero utilizando la transformación de coordenadas de Galileo (a), y designando T1, T2 respectivamente los intervalos temporales de una hora y dos horas tenemos:
d’= D’q-D’p= (Dq-vT1)-(Dp-vT2 )=(1000-v1h.)-(500-v 2h)= (1000-100)-(500-200)=900-300=600. No hay coincidencia pues con la medición efectuada desde la estación. Veamos que pasa si procede a medir primero distancia (P-E) y luego la distancia (Q-E): (1000-v2h.)- (500-v 1h)= (1000-200)-(500-100)=800-400=400.
Así ese primero y después carentes de importancia tratándose de medir una distancia desde un sistema respecto al cual no está en movimiento, sí la tiene si la medición se efectúa desde el sistema en movimiento relativo. Y no es sólo que no hay coincidencia entre los resultados desde el tren y desde el andén sino que los dos primeros difieren entre sí.
Para que el resultado obtenido por el viajero concuerde con el del observador de la estación, es necesario que el primero se someta a una condición a la que no está sometido el segundo, a saber: que sus dos mediciones se efectúen al mismo tiempo. Si por ejemplo ambas acontecen a los sesenta minutos, tenemos:
d’=D’q -D’p= (Dq-vT1)-(Dp-vT1)=(1000-v1h.)-(500-v 1h)= (1000-100)-(500-100)=900-400=500. Y el resultado es el mismo si consideramos que se procede a medir a los ciento veinte minutos. (b)
Y cabe pensar que efectivamente ahí reside el "fallo", que había que medir al mismo tiempo. Mas entonces: ¿por qué el que está en la estación no está obligado a ello? La respuesta es clara: porque cuando el espacio a medir está en reposo respecto al instrumento de medida, en el mismo no cuenta el tiempo, mientras que sí cuenta cuando tal espacio está en movimiento respecto a la unidad de medida. Y precisamente porque el tiempo cuenta, hay que fijarlo, hay que determinar un instante concreto en el que todos los puntos de ese espacio a medir, extremos incluidos, son simultáneos.
Nótese bien que la trascendencia del asunto sería mucho menor sin el principio de relatividad de Galileo. Supongamos por un momento que éste no hubiera sido formulado (o bien no hubiera sido asumido), cabría entonces razonar de la siguiente manera: Objetivamente (¡ontológicamente!) las estaciones P y Q están en reposo y quien se mueve es el tren. La distancia que cuenta es la que se mide desde E. Si el del tren no se las arregla para medir esta distancia efectiva,es cosa suya. La obligación de ceñirse a un tiempo forma parte de este arreglo, por así decirlo epistémico y no ontológico. Mas el principio de relatividad de Galileo dice que tan correcto es afirmar que se desplaza el tren de izquierda a derecha en relación al firme, como decir que es el "firme" lo que se está desplazando hacia la izquierda. Para el viajero que ha obtenido un resultado la obligación de hacer intervenir el tiempo es la causa de que el otro, el pseudo firme, por así decirlo no se está quieto. Y de hecho si, informado del resultado del viajero el del andén quisiera deducir el suyo propio tendría también que hacer intervenir el tiempo:
x =x’+vt
Salvo atenerse a medir exclusivamente en campo propio (cerrando el viajero las ventanas y el oficial de la estación ignorando que hay trenes) no hay manera de librar al espacio del tiempo. Por eso precisamente es necesario determinarlo. Si el viajero y el ferroviario se ponen de acuerdo en un tiempo, entonces el resultado que cada uno obtenga podrá, mediante la transformación de Galileo, servir a que el otro obtenga el suyo propio. Y aquí una exigencia que parece una obviedad: para fijar un instante común tiene que haber un tiempo común.
Por ello es de tal peso la hipótesis de que ese tiempo común no lo hay, o al menos no lo hay cuando se trata de medir distancias espaciales, de tal manera que para los extremos de la distancia considerada ( P Q en el ejemplo dado) el instante único que exige la medición del viajero serían en realidad dos instantes diferentes en el reloj del andén; grave hipótesis la de que, en general, el espacio de acontecimientos simultáneos para el uno no sea espacio de acontecimientos simultáneos para el otro.
(a) Ha de quedar bien claro que el recurso a la transformación de Galileo es para expresar en términos de un sistema las mediciones que se realizan en el otro sistema. El viajero ha medido con los recursos que le son propios y obtenido los resultados D’p, D’q, los cuales después expresamos en términos del otro sistema de coordenadas. No se trata de que su medición consiste en recibir la información desde el firme y aplicar mecánicamente la transformación, aunque obviamente este podría ser un método.
(b) Si en lugar de una distancia espacial fija P Q se trata de dos acontecimientos puntuales, el primero a los 60minutos y el otro a los 120 minutos del paso del tren. Obviamente, dada su evanescencia ( y ausencia de huella fija sí se quiere) sólo serán localizables en el momento de su emergencia, no pudiendo ser medidos al mismo tiempo. Ello no tiene mucha importancia para el observador del andén: "P y Q acontecieron el primero a la una en el kilómetro 500 y el segundo a las dos en el kilómetro 1000 " dirá en su informe. Mas sí habrá problemas si confronta su medición con la de su colega. Se verá la importancia de esto más adelante.
